Vetores - Geometria Analítica

Características de um segmento orientado:

1-) Comprimento:

A------------B (5u)

C----------------D (3u)

2-) Direção:

Dois ou mais segmentos tem a mesma direção, se somente, estão representados em retas paralelas ou coincidentes.

A--------->B----------C------------->D

E------>F

M<---------P

Obs:

* Os segmentos AB e CD tem mesma direção.

* Os segmentos EF e AB, são paralelos e tem a mesma direção.

* EF e MP tem mesma direção e sentido.

3-) Sentido:

A-------->B C-------->D

A-------->F P<---------A P----------->R

A---------->I

Obs:

* AF e PA tem mesma direção, e sentido opostos.

*AB e CD tem mesma direção e mesmo sentido.

Equipolência de segmentos orientados:

Dois ou mais segmentos são equipolentes somente se possuem as mesmas características, ou seja, mesmo comprimento, mesma direção e sentido.









AC e BD são equipolentes.
EF e GH são equipolentes.
IJ e KL são equipolentes.
AB e EF não são equipolentes.

Característica de um vetor:

1-) Módulo:

É o comprimento de uma de suas representantes.

2-) Direção:

É a mesma direção dos segmentos orientados, que o representa.

A-------->B C--------->D

E<-------F G------------>H

AB e CD tem mesma direção e sentido.
EF e GH tem mesma direção e sentidos opostos.

3-) Sentido:

É o mesmo sentido dos segmentos orientados equipolentes que o representa.

Propriedades:

a-) A+A = A ---> (A-A = 0)
b-) A-V = A+ (-V)
c-) A+V = B+B --> A = B
d-) A+u = B+v --> u = v
e-) A + (B-A) = B
f-) (B-A) = - (A-B) ---> AB = -BA
g-) (B-A) = (B-C) ---> (C-A) = (D-B)

Soma de vetores:

Associativa: (U+V) + W = U + (V+W)
Comutativa: U + V = V + U
Elemento Neutro: U + 0 = 0+U = U
Elemento Oposto: Qualquer que seja ( u ) diferente de 0 ---> (-u) = (-u) +u = 0

Produto de vetores:

U e V, ALFA e BETA nº's reais.

ALFA(BETA x V) = (ALFA x BETA)V; ALFA, BETA pertencentes ao |R --> Associativa

ALFA(U + V) = ALFA x U + ALFA x ; Qualquer que seja ALFA pertencentes ao |R

(ALFA + BETA) U = ALFA x U + BETA x V; Qualquer que seja ALFA e BETA pertencentes aos |R

Exemplo:

Em um triângulo ABC qualquer, e o ponto X sobre o lado AB, tal que (X-A) = 2.(B-X).

Escreva o vetor (X-C), em função dos vetores (A-C) e (B-C):

Passo a Passo:

1º Passo:

Desenhar o Triângulo ABC como se pede e descobrir aonde se encontra o valor X.








Para saber aonde o X se localiza é simples: se (X-A) = 2.(B-X), então quer dizer que BX tem duas vezes maior que CX. Então X localiza-se na seta vermelha da imagem acima.

2º Passo:

Escrever o vetor (X-C) em função dos vetores (A-C) e (B-C).

Obs:

De acordo com a teoria, (X-C) é o mesmo que CX.
(A-C) é o mesmo que CA.
(B-C) é o mesmo que CB.

3º Passo:

A intenção é simplificar ao máximo:

CX é a mesma coisa que CB + BX, e CX e também pode ser CA + AX.

Escreva as duas, e some-as.

CX = CB + BX
CX = CA + AX
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2CX = CA + CB + AX + BX
--------------
Concorda que AX é a mesma coisa que 2XB? Então vamos trocar AX por 2XB na conta.
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2CX = CA + CB + BX + 2XB
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Na teoria acima mostra que quando inverte um vetor, ele troca o sinal, então vamos inverter BX para -XB para poder simplicar ainda mais a conta.
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2CX = CA + CB - XB + 2XB
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2CX = CA + CB +XB
--------------
Concorda que XB é o mesmo que XC + CB? Então vamos trocar XB pelo mesmo para poder simplificar ainda mais.
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2CX = CA + CB + XC + CB
--------------
Usando a mesma teoria usada agora pouco, vamos inverter o vetor XC para CX.
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2CX = CA + CB -CX + CB
--------------
Vamos passar o - CX para o outro lado, mas como ele muda de lado ele passará a ser positivo.
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2CX + CX = CA + CB + CB
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3CX = CA + 2CB
--------------
Agora como em uma pequena equação, passarei o 3 dividindo o resto da equação para achar o valor do vetor CX.
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CX = 1/3CA + 2/3 CB
--------------

Para dar a resposta vamos inverter os vetores do jeito que começaram:

(X-C) = 1/3 (A-C) + 2/3 (B-C)